Większość uczniów uczy się wzoru (a+b)² na pamięć. Mówią pod nosem: „a kwadrat, plus dwa a b, plus b kwadrat”. Po dwóch tygodniach zapominają o „2ab” i robią klasyczny błąd – piszą a² + b².
Ten błąd kosztuje 1-2 punkty na każdej maturze. I jest do uniknięcia w 5 minut. Wystarczy NIE uczyć się tego wzoru. Wystarczy go zobaczyć.
Narysuj kwadrat o boku (a+b)
Bierzesz kartkę. Rysujesz duży kwadrat. Bok tego kwadratu to a+b. Pole tego kwadratu, ze wzoru na pole kwadratu, wynosi (a+b)². To jest lewa strona równania.
Teraz dzielisz ten kwadrat na cztery części. Od lewego dolnego rogu odmierzasz na poziomym boku odległość a, reszta to b. To samo w pionie. Prowadzisz dwie linie. Wyszły cztery prostokąty.
Co dokładnie dostałeś
- Lewy dolny – kwadrat o boku a. Pole: a².
- Prawy górny – kwadrat o boku b. Pole: b².
- Prawy dolny – prostokąt o bokach a i b. Pole: ab.
- Lewy górny – taki sam prostokąt. Też ab.
Te cztery kawałki razem dają cały kwadrat. Sumujesz pola:
(a+b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
To „2ab”, które wszystkim umyka – to są DWA identyczne prostokąty po przekątnej. Zobaczyłeś je. Nie ma jak ich zapomnieć.
A teraz (a−b)² – ten sam pomysł, inny rysunek
Bierzesz kwadrat o boku a. Z dwóch boków „odcinasz” paski o szerokości b. To, co zostało w środku, to kwadrat o boku (a−b) i polu (a−b)².
Co dokładnie zrobiłeś? Odjąłeś od pola kwadratu a² dwa paski po polu ab. Ale uwaga – w prawym górnym rogu te paski się NAKŁADAJĄ. Mały kwadrat o boku b został odjęty dwa razy. Trzeba go raz dodać z powrotem.
(a−b)² = a² − 2ab + b²
Ten sam rysunek, ten sam pomysł, tylko znak minus przy „2ab”. Nie ma drugiego wzoru do osobnego wkucia.
Trzeci wzór: (a−b)(a+b) = a² − b²
Tutaj rysunek nie jest potrzebny. Po prostu wymnażasz nawias przez nawias:
- a · a = a²
- a · b = ab
- −b · a = −ab
- −b · b = −b²
Razem: a² + ab − ab − b². „ab” i „−ab” znikają. Zostaje:
(a−b)(a+b) = a² − b²
Trzy wzory skróconego mnożenia, jedna kartka, dwa rysunki, jedno wymnożenie. Zero wkuwania.
Sprawdź się – 5 zadań
Zrób je BEZ patrzenia na odpowiedzi. Potem rozwiń odpowiedzi i porównaj. Każda odpowiedź ma krótkie „dlaczego” pod spodem.
- Oblicz: (x + 3)²
- Oblicz: (2y − 5)²
- Rozłóż na czynniki: x² − 49
- Oblicz w pamięci: 102² − 98² (podpowiedź: różnica kwadratów)
- Uprość: (a + 2b)² − (a − 2b)²
Pokaż odpowiedzi
- (x + 3)² = x² + 6x + 9
Bezpośrednio z wzoru: a=x, b=3. „2ab” = 2·x·3 = 6x. - (2y − 5)² = 4y² − 20y + 25
a=2y, b=5. (2y)² = 4y². „2ab” = 2·2y·5 = 20y. Znak minus, bo różnica. - x² − 49 = (x − 7)(x + 7)
49 = 7², więc x² − 49 to różnica kwadratów. Wzór działa „w drugą stronę”. - 102² − 98² = 800
Różnica kwadratów: (102−98)(102+98) = 4 · 200 = 800. Bez kalkulatora. - (a + 2b)² − (a − 2b)² = 8ab
Pierwszy: a² + 4ab + 4b². Drugi: a² − 4ab + 4b². Po odjęciu zostaje 8ab.
Co zrobić TERAZ – 5 minut
Weź czystą kartkę. Narysuj duży kwadrat o boku a+b. Podziel go na cztery kawałki. Podpisz każdy: a², b², ab, ab. Wypisz sumę.
Zrób to RAZ, sam, długopisem. Nie zerkaj na wpis. Jeśli się zacinasz, wróć i przeczytaj. Powtórz po godzinie. Powtórz jutro.
Po trzech rysunkach wzór jest u Ciebie na zawsze. I już nigdy nie zapomnisz o „2ab”.
Jeśli chcesz, żeby ktoś przeszedł z Tobą TAK wszystkie wzory z karty maturalnej – umów darmową lekcję próbną. 30 minut. Każdy wzór sprowadzony do obrazka. Bez wkuwania.